ある算数の問題

唐突だが、\(r=0\)の時に0.5, \(r=r_0\)の時に0.6, \(r=\infty\)の時に1.0となる関数を作りたい。

最初に考え付いたのは連分数展開の第2項までを取って、
\[f(x)=\frac{1.0}{1.0 + \frac{1.0}{1.0 + \frac{r}{r_0}}}\]
とする方法。

次に考えたのは指数関数を使って
\[f(x) = 1.0 - 0.5 e^{-r/r_0 \times log(0.5/0.4)}\]
とする方法。

実験して見た結果、最初の方法の方が望ましい結果が得られたので、こちらを採用した。